🍉有限元分析学习笔记（零）：加权余量法及其弱形式

前言

本文摘自《计算物理学》–刘金远一书中的第九章

本文将介绍有限元分析的数学理论基础：加权余量法和变分法

有限单元法(finite element method, FEM)或称有限元法,是一种常用的计算方法。有限元法将系统网格节点统一编号,特别适用于不规则的系统,或边界任意形状的系统。所以有限元法广泛应用于流体力学、结构力学等系统。有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的,所以广泛地应用于与泛函的极值问题密切相关的拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中。自从1969年以来,某些学者在流体力学中应用加权余数法中的伽辽金(Galerkin)法或最小二乘法等同样获得了有限元方程,使有限元法可应用于任何微分方程所描述的各类物理场中,而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。
本章简单介绍一下有限元法的基本概念,描述方法和几点应用。

1 微分方程求解的加权余量方法

在采用数值方法求解方程的近似解时,可用带有任意系数的一组线性无关函数来表示方程的近似解。将此近似解代入方程后,得到近似解与真解偏差,称为余量。这时的问题就成为如何确定这组系数,使余量最小。这就是加权余量法的基本思想。

1.1 加权余量法

加权余量法 (weighted residual methods, WRM) 是获得微分方程近似解的有用方法。为了介绍这种方法,现考虑一个简单的问题

$$\begin{cases} \frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d}x^2} - u = -x, \;\;0<x<1\\ u(0)=0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u(1)=0 \end{cases}$$

加权余量法的思路是:
（1）选近似解。先假设一个包含未知系数的近似试探解,例如本问题,假设近似试探解 $\overline u = ax(1-x)$ ，这个近似解满足边界条件 $\overline u(0)=0,\overline u(1)=0$。$a$ 是待定系数。

（2）求余量。将近似解代入方程(1)得到余量(如果试探解就是精确解，余量为 0）

$$\bold R = \frac{\mathrm{d}^2{\overline u }}{\mathrm{d}x^2} - \overline u +x = -2a-ax(1-x)+x$$

由于 $\overline u$ 不是精确解，余量 $\bold R$ 在求解的区域不可能为零。

（3）选权函数。加权余量法的中心思想就是如何选择待定系数 $a$ ，使得试探解 $\overline u$ 是精确解的最好近似。为此，通常选择一个权函数 $w$ 使得问题的余量在求解区域的权平均（加权积分）为零，即：

$$\begin{aligned} \bold I & = \;\;\int_{0}^{1}\bold w\bold R\mathrm{d}x = \int_{0}^{1}\bold w\left ( \frac{\mathrm{d}^2{\overline u }}{\mathrm{d}x^2} - \overline u +x \right )\mathrm{d}x\\ & =\;\;\int_{0}^{1}\bold w\left [-2a-ax(1-x)+x \right ]\mathrm{d}x \\ &= \;\;0 \end{aligned}$$

根据权重函数的选择方法不同，加权余量法又可以进行进一步的分类。

1.1.1 配置法 （collocation method）

选择狄拉克 - $\sigma$ 函数为权函数

$$\bold w = \sigma(x-x_i)$$

$x_i$ 在求解区域内。例如，取 $x_i = 0.5$ ，代入式(3)中，得到：

$$a = 0.2222$$

则，近似解为 $\overline u = 0.2222x(1-x)$ 。

1.1.2 最小二乘法（least squares method）

选择权函数为对余量所含的待求系数的导数

$$\bold w = \frac{\mathrm{d}\bold R}{\mathrm{d}a}$$

由式(2)得 $\bold w = -2 -x(1-x)$ ，代入式（3）中得 $a = 0.2305$ ，则近似解为：

$$\overline u = 0.2305x(1-x)$$

1.1.3 伽辽金法（Galerkin method）

选择权函数对试探解所含待求系数的导数

$$\bold w = \frac{\mathrm{d}\overline u}{\mathrm{d}a}$$

对于本例 $\bold w = x(1-x)$ ，代入式（3）中，得到：

$$a = 0.2272,\overline u = 0.2272x(1-x)$$

作为参考，本例的精确解为：

$$u(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e-e^{-1}}+x$$

为了改进近似解，可以选择含有多个待定系数的近似解，对于本文中的例题，可以假设近似解为：

$$\overline u = a_1x(1-x)+a_2x^2(1-x)$$

这样，代入原微分方程（1）中，得到余量

$$\bold R = a_1(-2-x+x^2) + a_2(2-6x-x^2+x^3) + x$$

含有两个待确定的系数，需要同样数量的权函数，这样：

配置法：

$$\bold w1 = \sigma(x-x_1),\bold w_2 = \sigma(x-x_2)$$

最小二乘法：

$$\bold w_1 = -2 -x +x^2, \bold w_2 = 2-6x-x^2+x^3$$

伽辽金法：

$$\bold w_1 = x(1-x), \bold w_2 = x^2(1-x)$$

1.2 加权余量法的弱形式

对$$于前面考虑的简单例子，要求试探的近似解必须能够两次可微，这是加权余量法的强形式。为了减少对试探解函数的要求，可以对强形式的加权积分先做分部积分

$$\begin{aligned} \bold I & = \int_{0}^{1}\bold w \bold R \mathrm{d}x = \int_{0}^{1}\bold w\left (\frac{\mathrm{d}^2\overline u}{\mathrm{d}x^2} - \overline u+x \right)\mathrm{d}x\\ & = \int_{0}^{1}\bold w\left (\frac{\mathrm{d}^2\overline u}{\mathrm{d}x^2}\right )\mathrm{d}x+\int_{0}^{1}\bold w(-\overline u + x )\mathrm{d}x\\ & = \bold w \frac{\mathrm{d\overline u}}{\mathrm{d}x}\bigg |_{0}^{1} - \int_{0}^{1}\left (\frac{\mathrm{d}\overline u}{\mathrm{d}x} \cdot \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x} \right)\mathrm{d}x + \int_{0}^{1}\bold w (-\overline u+x)\mathrm{d}x\\ & =\int_{0}^{1}\left ( \frac{\mathrm{d}\overline u}{\mathrm{d}x} \cdot \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x} -\bold w\overline u+ \bold wx \right)\mathrm{d}x + \bold w \frac{\mathrm{d\overline u}}{\mathrm{d}x}\bigg |_{0}^{1}\\ &= 0 \end{aligned}$$

这样，就不必需要试探解二阶可微，这就是加权余量法的弱形式。应用试探解 $\overline u = ax(1-x)$ 代入式（15）得到与强形式同样的解